d/dx f(x) -- passo dopo passo
Digita una funzione -- la formula viene visualizzata in tempo reale. Premi "=" e il calcolatore costruisce la derivata insieme a una catena completa di ragionamento: quale regola si applica a ogni passaggio e perché.
Non ci si assume alcuna responsabilità per la correttezza dei risultati. Errori del software possono produrre risultati non corretti -- verifica sempre ciò che è importante.
Il calcolatore di derivate online trova la derivata di una funzione in forma simbolica e mostra una soluzione completa passo dopo passo: quale regola si applica a ogni fase del calcolo e perché. Sono supportate derivate dal 1° al 5° ordine per le funzioni ordinarie, ed è disponibile una modalità separata per la derivazione implicita quando y non è isolata da un lato dell'equazione.
Il servizio copre il set standard di regole di derivazione: la regola della somma, la regola del prodotto, la regola del quoziente, la regola della catena, la regola della potenza, e le derivate tabulate di funzioni polinomiali, trigonometriche, iperboliche, esponenziali e logaritmiche. Quando sia la base sia l'esponente di una potenza dipendono dalla variabile (come in x^x), il calcolatore passa alla derivazione logaritmica e ne spiega il motivo. Ogni passaggio di una regola mostra sia la formula generale sia il risultato ridotto sulla stessa riga -- ad esempio d/dx[x^2] = 2x^(2-1) = 2x -- così che nulla resti semplificato a metà.
Il grafico mostra f(x) insieme a f'(x), e ogni derivata di ordine superiore che calcoli viene aggiunta anch'essa tramite "Calcola la prossima derivata di ordine superiore". Digitando un punto viene mostrata la retta tangente in quel punto, e una sovrapposizione facoltativa evidenzia gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente, in base al segno della derivata -- con gli estremi locali contrassegnati dove la derivata cambia realmente segno (un punto in cui la derivata tocca soltanto lo zero, come x = 0 per x²sin(x), viene correttamente lasciato senza contrassegno) e i punti di flesso contrassegnati dove la concavità cambia effettivamente. Il grafico supporta panoramica e zoom, ricampionando la funzione secondo necessità anziché deformare un insieme fisso di punti.
Oltre alla derivata in forma chiusa, il pulsante "Radici/zeri" trova ogni zero esatto della derivata (risolto simbolicamente quando possibile, con un'alternativa numerica segnalata quando non lo è), e "Semplifica" cerca una forma equivalente e più compatta del risultato. Un pannello separato trova il massimo e il minimo assoluti della funzione su uno specifico intervallo chiuso [a, b] -- verificando gli estremi dell'intervallo insieme a ogni punto critico strettamente interno ad esso, secondo il teorema di Weierstrass (teorema del valore estremo) -- e segnala il risultato se la funzione è discontinua o non definita in qualche punto di quell'intervallo, oppure se un punto critico ha potuto essere determinato solo numericamente.
Il calcolatore include anche una funzione di verifica della risposta: invia la derivata che hai calcolato a mano e verrà confrontata simbolicamente con quella corretta, accettando qualsiasi forma matematicamente equivalente anziché richiedere una rappresentazione specifica.
Passando alla modalità "Implicito: F(x, y) = 0" si possono gestire equazioni che mettono in relazione x e y senza che y sia mai isolata -- la circonferenza x² + y² = 25, ad esempio, o qualunque altra costruita allo stesso modo (un'ellisse, x·y + sin(y) = x, e così via). Inserisci l'equazione, scegli rispetto a quale variabile derivare, e il calcolatore tratta l'altra come una funzione implicita di quella variabile, deriva entrambi i membri e risolve algebricamente per dy/dx. Lo svolgimento passo dopo passo usa esattamente lo stesso insieme di regole della derivazione ordinaria -- regola del prodotto, regola della catena, e così via -- poiché ogni occorrenza di y contribuisce semplicemente con un fattore y' tramite la regola della catena man mano che l'equazione viene percorsa termine per termine.
L'espressione matematica viene prima analizzata sintatticamente. Il calcolatore riconosce la moltiplicazione implicita (per esempio 2sin(x) viene interpretato come 2*sin(x)) e gli alias delle funzioni (tg, ctg, sh e ch sono riconosciuti insieme a tan, cot, sinh e cosh).
La derivazione stessa è una discesa ricorsiva nell'albero dell'espressione: a ogni nodo il calcolatore riconosce se si tratta di una somma, un prodotto, un quoziente, una potenza o una funzione elementare applicata a qualcosa, e applica la regola corrispondente -- scendendo ricorsivamente nelle parti non banali finché ogni elemento non viene ridotto a una derivata tabulata. Si tratta di un problema fondamentalmente più vincolato rispetto all'integrazione simbolica, quindi non è necessaria alcuna ricerca tra percorsi di soluzione alternativi.
Per gli ordini superiori si ripete lo stesso processo: la derivata prima viene calcolata e spiegata per intero, poi derivata nuovamente per ottenere la seconda, e così via fino alla quinta.
Inserisci la funzione che vuoi derivare senza f(x) =; non è necessario includerlo. La formula viene visualizzata graficamente man mano che digiti, così puoi verificare subito che il calcolatore abbia interpretato l'espressione come previsto.
Usa le parentesi ove necessario per specificare l'ordine delle operazioni, ad esempio a/(b+c). Usa il punto anziché la virgola per i numeri decimali: 3.141, non 3,141. La sezione degli esempi include le funzioni inserite più di frequente e può essere usata come riferimento per la sintassi.
Scegli l'ordine della derivata (dal 1° al 5°) dal menu a tendina prima di premere "=". Una volta inserita l'espressione, fai clic su "=" e il calcolatore mostrerà la derivata, la soluzione passo dopo passo e il grafico.
Per un'equazione che mette in relazione x e y, passa prima alla modalità "Implicito" sopra il campo di input -- il campo dell'equazione sostituisce quello della singola funzione, e "deriva rispetto a" propone le variabili che rileva in ciò che hai digitato finora, con x come opzione predefinita.